Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，且$cos（\frac{π}{3}-A）=2cosA$．
（1）求A的值；
（2）若△ABC的面积S=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}{c^2}$，求sinC的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和差的余弦公式求出tanA=$\sqrt{3}$，可得A=$\frac{π}{3}$．
（2）由条件求得b=2c，利用余弦定理求得a=$\sqrt{3}$c、再利用勾股定理求得△ABC为直角三角形，从而求得sinC的值．

解答 解：（1）△ABC中，由$cos（\frac{π}{3}-A）=2cosA$，得$\frac{1}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=2cosA，即 $\sqrt{3}$sinA=3cosA，
∴tanA=$\sqrt{3}$，∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）由$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{c^2}⇒b=2c$，
由余弦定理：${a^2}={b^2}+{c^2}-2bccosA⇒a=\sqrt{3}c$，∴a²+c²=b²，△ABC为直角三角形，
易得 sinC=$\frac{c}{b}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查两角和差的余弦公式，余弦定理、勾股定理，属于基础题．