Question

15．若F₁，F₂分别是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，A为双曲线的左顶点，以F₁，F₂为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{21}}{3}$

Answer 1

分析 首先写出圆的标准方程，画出图形，结合图形由方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$即可写出M，N两点的坐标，并且知道向量$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AN}$的夹角为120°，从而由cos∠MAN=$cos＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AN}＞=-\frac{1}{2}$即可得到a，b的关系，再根据c²=a²+b²即可找到a，c的关系式，从而求出该双曲线的离心率$\frac{c}{a}$．

解答 解：如图，A（a，0），由已知条件知圆的方程为：x²+y²=c²；
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$得：M（a，b），N（-a，-b）；
∴$\overrightarrow{AM}=（0，b），\overrightarrow{AN}=（-2a，-b）$；
又∠MAN=120°；
∴$cos＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AN}＞$=$\frac{-{b}^{2}}{\sqrt{4{a}^{2}+{b}^{2}}•b}=-\frac{1}{2}$；
∴4a²=3b²；
∴4a²=3（c²-a²）；
∴7a²=3c²；
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{21}}{3}$；
即双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故选：D．

点评 考查双曲线的标准方程，双曲线焦点的概念，以及圆的标准方程，双曲线的渐近线的概念及渐近线的求法，双曲线的离心率的概念及计算公式，向量夹角余弦的坐标公式．