题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求函数
的单调区间;
(2)若函数在区间
内有两个极值点
、
,求实数
的取值范围;
(3)在(1)的基础上,求证:.
【答案】(1)单增区间为,单减区间为
;(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)将代入函数
的解析式得出
,然后利用导数可求出函数
的单调增区间和减区间;
(2)对函数求导得出
,问题转化为函数
在区间
内有两个函数,等价于直线
与函数
在区间
上有两个交点,利用数形结合思想可求出实数
的取值范围;
(3)由题意得出,将两个等式相加得
,利用分析法得出要证的不等式等价于
,再将两等式
相减得出
,并证明出不等式
,从而可得出
,从而得出
,即可证明所证不等式成立.
(1)时,
,则
,
由,得
;
,得
.
因此,函数的单增区间为
,单减区间为
;
(2),其中
,
由题意可知,、
是函数
在区间
内的两个零点.
由得
,结合(1),则问题也等价于
在区间
有两个零点,
从而,可转化为直线与
的图象在
上有两个交点,
由(1)知,函数在
上单减,在
上单增,
而当时,
,
,
,
如下图所示:
由图象可知,当时,直线
与函数
在区间
上的图象有两个交点,因此,实数
的取值范围是
;
(3)由(2)可知,、
为
在区间
内的两个根,
且,其中
是函数
的极小值点,
.
由,可得
故所证.
下面证明出,即证
.
设,即证
,即证
.
构造函数,其中
,则
,
所以,函数在区间
上单调递增,当
时,
.
所以,当时,
,所以,
.
将等式两式相减得
,
.
,因此,
.
所以,.
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