Question

【题目】已知函数（）在处的切线与直线平行.

（1）求的值并讨论函数在上的单调性；

（2）若函数（为常数）有两个零点（）

①求实数的取值范围；

②求证：

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析.

【解析】试题分析：（1）根据切线的斜率可知在处的导数，从而求出的值,再根据导数的正负讨论函数的单调区间即可；（2）①根据函数有两个零点知，函数的最小值要小于0即可求出；②设，构造函数（），利用导数确定函数单调性，再根据即可求证.

试题解析：

（1），

，∴.

∴

令，

则

∴时， ； 时， .

则在上单调递增，在上单调递减.

∴在时， ，

即时， ，

∴函数在上单调递减.

（2）①由条件可知， ，

则

∴在上单调递减，在上单调递增；

要使函数有两个零点，则

∴.

②证明：由①可知，∴，

又是两个零点

∴

令（）

则，

∴

即

又在上单调递减，

∴，即