题目内容
【题目】如图,在四棱锥 中,
、
、
均为等边三角形,
.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)求直线 与平面
所成角的正弦值.
【答案】解:(Ⅰ)因为 ,
,
为公共边,
所以 ,
所以 ,又
,
所以 ,且
为
中点.
又 ,所以
,
又 ,所以
,结合
,
可得 ,
所以 ,
即 ,又
,
故 平面
,又
平面
,所以
.
又 ,所以
平面
.
(Ⅱ)以 为原点,建立空间直角坐标系
如图所示,
不妨设 ,易得
,
,
则 ,
,
,
,
所以 ,
,
,
设平面 的法向量为
,则
,即
,解得
,
令 得
,
设直线 与平面
所成角为
,则
,
所以 与平面
所成角的正弦值为
【解析】(Ⅰ)根据题目中所给的条件的特点,由△ABD和△CBD相似,可得∠ABD=∠CBD,AC⊥BD,即可得PO⊥AC,即PO⊥OB,又PO⊥BD.最后利用线面垂直的判定即可证得结论.
(Ⅱ)根据题意,以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz,求出平面PBC的法向量,利用向量夹角公式求解即可.
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