题目内容
【题目】已知函数.
Ⅰ
若
时,求函数
的单调区间;
Ⅱ
若
,则当
时,记
的最小值为M,
的最大值为N,判断M与N的大小关系,并写出判断过程.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ),证明见解析.
【解析】
Ⅰ
求出函数的导数,通过讨论m的范围,求出函数的单调区间即可;
Ⅱ
令
,讨论m的范围,根据函数的单调性求出
的最大值和
的最小值,结合函数恒成立分别判断即可证明结论.
解:Ⅰ
函数定义域为R,
分
当
,即
时,
,此时
在R递增,
当
即
,
时,
,
递增,
时,
,
递减,
时,
,
递增;
,即
时,
和
,
,
递增,
时,
,
递减;
综上所述,时,
在R递增,
时,
在
,
递增,在
递减,
时,
在
,
递增,在
递减;
Ⅱ
,
当时,由
知
在
递增,在
递减,
,
当时,函数
单调递减,
所以其最小值为,
最大值为
,
所以下面判断与
的大小,
即判断与
的大小,其中
,
令,
,
令,则
,
因,所以
,
单调递增;
所以,
,
故存在使得
,
所以在
上单调递减,在
单调递增
所以,
所以时,
,
即也即
.
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