Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调减区间，单调增区间；（2）.

【解析】

（1）求出函数的定义域与导数，求得该函数的极值点，分析导数的符号变化，进而可得出函数的单调递减区间和递增区间；

（2）当时，由恒成立，得出，构造函数，可得，然后对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，验证是否恒成立，由此可求得实数的取值范围.

（1）函数的定义域为，，令，得.

当时，；当时，.

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）若恒成立，即恒成立

时，，即，即，

设，

则，

①当时，，则当时，，函数在上单调递增，

此时，即成立，所以，符合题意；

②当时，，则当时，，函数在区间上单调递减，则，不合乎题意.

综上所述，实数的取值范围是.