题目内容
【题目】已知直四棱柱的棱长均相等,且BAD=60,M是侧棱DD1的中点,N是棱C1D1上的点.
(1)求异面直线BD1和AM所成角的余弦值;
(2)若二面角的大小为
,,试确定点N的位置.
【答案】(1);(2)点
与点
重合.
【解析】
(1)取的中点
,连结
,
,由直棱柱的几何特征及平面几何的知识可得
两两垂直,建立空间直角坐标系,求出
、
后,利用
即可得解;
(2)设,求出平面
的一个法向量
,平面
的一个法向量为
,利用
列方程即可得解.
的中点
,连结
,
,
因为直四棱柱的棱长均相等,所以底面
是菱形,
又,所以△ABD是正三角形,
所以,因为
,所以
,
在直四棱柱中,
平面
,
平面
,
所以,
,
分别以直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设直四棱柱的棱长均为2,
则,
,
,
,
,
,
(1)所以,
,
设异面直线与
所成角的大小为
,则
,
所以异面直线与
所成角的余弦值为
;
(2)因为,
.
设平面的一个法向量为
,
则 即
,所以
取,则
;
设,则
,
设平面的一个法向量为
,
则 即
,所以
取,则
,
则,解得
,
所以当二面角的大小为
时,点
与点
重合.

【题目】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查,得到如下数据:
每周移动支付次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 10 | 8 | 7 | 3 | 2 | 15 |
女 | 5 | 4 | 6 | 4 | 6 | 30 |
合计 | 15 | 12 | 13 | 7 | 8 | 45 |
(Ⅰ)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”,能否在犯错误概率不超过0.005的前提下,认为是否为“移动支付活跃用户”与性别有关?
(Ⅱ)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”,视频率为概率,在我市所有“移动支付达人”中,随机抽取4名用户.
①求抽取的4名用户中,既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率;
②为了鼓励男性用户使用移动支付,对抽出的男“移动支付达人”每人奖励300元,记奖励总金额为,求
的分布列及数学期望.
附公式及表如下:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |