Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆内一点的直线的斜率为，且与椭圆交于两点，设直线， （为坐标原点）的斜率分别为，若对任意，存在实数，使得，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：

（Ⅰ）由离心率中得，再点的坐标代入椭圆方程又得一关于的方程，结合可求得，得标准方程；

（Ⅱ）设直线的方程为，设， ，由直线方程与椭圆方程联立消元后可得，计算，并代入，由的任意性可得，由于直线与椭圆问题相交的，因此点在椭圆内部，即，最终可得范围．

试题解析：

（Ⅰ）椭圆的离心率，所以，

又点在椭圆上，所以，解得， ，

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）设直线的方程为.

由，消元可得，

设， ，则， ，

而 ，由，得，

因为此等式对任意的都成立，所以，即.

由题意得点在椭圆内，故，即，解得.