Question

【题目】已知函数（，是自然对数的底数）.

（1）讨论的单调性；

（2）若存在，使得，证明：.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）函数求导后对 分类讨论即可得解；（2）由，知，原不等式可转化为，构造函数，，分别利用导数求其最大值与最小值即可.

（1），，

①当时，，于是令得，令得，

所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是，

②当时，令，∴或，

当时，，所以函数的单调递增区间是，

当时，，当，时，；当时，，

所以函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.

当时，，当，时，；当时，，

所以函数的单调递增区间是,,单调递减区间是.

（2）因为，∴，∴，

即证，

设，∴，

所以在上单调递减，在上单调递增，所以.

令，∴，

所以函数在上为增函数，

所以，

即，

由此得，

即.