题目内容
11.定义在(-∞,+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,下面是关于f(x)的判断:①f(8)=f(0)
②f(x)在[0,1]上是增函数;
③f(x)的图象关于直线x=1对称
④f(x)关于点P($\frac{1}{2},0$)对称.
其中正确的判断是①③④.
分析 由函数的奇偶性以及f(x+1)=-f(x)可得函数的周期性,利用函数奇偶性,周期性和单调性之间的关系分别进行判断即可.
解答 解:由f(x+1)=-f(x)可得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),
即函数f(x)是周期为2的周期函数,
①则f(8)=f(0)成立,即①正确;
②∵f(x)为偶函数且在[-1,0]上单增可得f(x)在[0,1]上是减函数,即②错误;
③∵f(x+2)=f(x),且函数f(x)是偶函数,
∴f(x+2)=f(-x),
即f(x+1)=f(1-x),则f(x)的图象关于直线x=1对称,即③正确;
④∵f(x+1)=-f(x)=-f(-x),
∴f(x)关于点P($\frac{1}{2},0$)对称.即④正确,
故答案为:①③④
点评 本题考查函数的对称性,函数的单调性,函数奇偶性的应用,考查学生分析问题解决问题的能力,要求熟练掌握函数的常用性质.
练习册系列答案
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