Question

3．分别根据下列条件解三角形：
（1）a=$\sqrt{3}，b=\sqrt{2}$，B=45°．
（2）a=2，b=2$\sqrt{2}$，C=15°．

Answer 1

分析 （1）由已知结合正弦定理求得A，然后分类求得C与c；
（2）首先由余弦定理求得c，再由余弦定理的推论求得A，由三角形内角和定理求得B．

解答 解：（1）在△ABC中，∵a=$\sqrt{3}，b=\sqrt{2}$，B=45°，
由正弦定理得：$\frac{\sqrt{3}}{sinA}=\frac{\sqrt{2}}{sin45°}$，即sinA=$\frac{\sqrt{3}sin45°}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0°＜A＜180°，∴A=60°或A=120°．
当A=60°时，C=180°-60°-45°=75°，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2ab•cos75°}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}-2×\sqrt{3}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$；
当A=120°时，C=180°-120°-45°=15°，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2ab•cos15°}$=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}-2×\sqrt{3}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$．
（2）在△ABC中，∵a=2，b=2$\sqrt{2}$，C=15°，
∴$c=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}-2ab•cos15°}$=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}-2×2×2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$．
$cosA=\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{6}-\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}{2×2\sqrt{2}×（\sqrt{6}-\sqrt{2}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵0°＜A＜180°，∴A=30°．
则B=180°-A-C=180°-30°-15°=135°．

点评 本题考查三角形的解法，考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．