题目内容

【题目】已知函数为实数).

(1)当求函数的图象在点处的切线方程

(2)设函数(其中为常数),若函数在区间上不存在极值且存在满足的取值范围

(3)已知求证

【答案】(1)(2)(3)详见解析

【解析】

试题分析:(1)由导数几何意义得,先求导数,代入得切线斜率为2,因为,所以根据点斜式可得切线方程(2)不存在极值,即函数导数不变号,先求函数导数,因此,存在性问题,转化为对应函数最值:即由存在满足,得,结合二次函数最值求法,即对称轴与对应区间位置关系分类讨论:,再分别求解对应不等式,得的取值范围;(3)利用导数证明不等式,关键在于构造恰当的函数,可利用导数得,因此有不等式,令,则,最后根据叠加法可证不等式

试题解析:(1)当

函数的图象在点处的切线方程为:

(2)解得

由于函数在区间上不存在极值所以

由于存在满足所以

对于函数对称轴

结合可得

结合可知不存在

结合可知

综上可知,的取值范围是

(3)证明:当

单调递增

单调递减

处取得最大值

,即

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