题目内容
【题目】已知函数(为实数).
(1)当时,求函数的图象在点处的切线方程;
(2)设函数(其中为常数),若函数在区间上不存在极值,且存在满足,求的取值范围;
(3)已知,求证:.
【答案】(1)(2)(3)详见解析
【解析】
试题分析:(1)由导数几何意义得,先求导数,代入得切线斜率为2,因为,所以根据点斜式可得切线方程(2)不存在极值,即函数导数不变号,先求函数导数,因此或,存在性问题,转化为对应函数最值:即由存在满足,得,结合二次函数最值求法,即对称轴与对应区间位置关系分类讨论:①当或,;②当,;③当,,再分别求解对应不等式,得的取值范围;(3)利用导数证明不等式,关键在于构造恰当的函数:,可利用导数得,因此有不等式,令,则,最后根据叠加法可证不等式
试题解析:(1)当时,,,
则,,
∴函数的图象在点处的切线方程为:,即.
(2),由,解得,
由于函数在区间上不存在极值,所以或,
由于存在满足,所以,
对于函数,对称轴,
①当或,即或时,,
由,即,结合或可得:或;
②当,即时,,
由,即,结合可知:不存在;
③当,即时,;
由,即,结合可知:,
综上可知,的取值范围是.
(3)证明:当时,,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
∴在处取得最大值,
即,∴,
令,则,即,
∴ ,
故.
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