题目内容
【题目】如图，在四棱锥
中，
平面
，
， 
，
，
为
的中点．
（1）求异面直线
，
所成角的余弦值；
（2）点
在线段
上，且
，若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的值．
【答案】（1）
（2）
．
【解析】
试题分析：（1）利用空间向量求线线角，先根据题意确定空间直角坐标系，设立各点坐标，表示直线方向向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据线线角与向量夹角关系得线线角余弦值（2）利用空间向量求线面角，先根据题意确定空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求面的法向量，利用向量数量积求向量夹角余弦值，最后根据线面角与向量夹角互余关系列等量关系，解出
的值．
试题解析：（1）
因为
平面
，且
平面，
所以
，
，
又因为
，所以
两两互相垂直．
分别以
为
轴建立空间直角坐标系，
则由
，
可得
，
，
，
，
，
又因为
为
的中点，所以
．
所以
，
，…………2分
所以
，
所以异面直线
，
所成角的余弦值为．…………………………5分
（2）因为
，所以
，则
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
即
令
，解得
，
，
所以
是平面的一个法向量．……………………………7分
因为直线
与平面
所成角的正弦值为
，
所以
，
解得
，
所以
的值为．……………………………………………………………10分
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