题目内容
(16分)如图所示,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P并与抛物线C在点P的切线垂直,l与抛物线C相交于另一点Q,当点P在抛物线C上移动时,求线段PQ的中点M的轨迹方程,并求点M到x轴的最短距离.
点M到x轴的最短距离是+1
设P(x0,y0),则y0=x,
∴过点P的切线斜率k=x0,
当x0=0时不合题意,∴x0≠0.
∴直线l的斜率kl=-=-,
∴直线l的方程为y-x=-(x-x0).
此式与y=x2联立消去y得
x2+x- x-2=0.
设Q(x1,y1),M(x,y).∵M是PQ的中点,
∴,
消去x0,得y=x2++1(x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x2>0,
∴y=x2++1≥2+1=+1.
上式等号仅当x2=,即x=±时成立,
所以点M到x轴的最短距离是+1.
∴过点P的切线斜率k=x0,
当x0=0时不合题意,∴x0≠0.
∴直线l的斜率kl=-=-,
∴直线l的方程为y-x=-(x-x0).
此式与y=x2联立消去y得
x2+x- x-2=0.
设Q(x1,y1),M(x,y).∵M是PQ的中点,
∴,
消去x0,得y=x2++1(x≠0)就是所求的轨迹方程.由x≠0知x2>0,
∴y=x2++1≥2+1=+1.
上式等号仅当x2=,即x=±时成立,
所以点M到x轴的最短距离是+1.
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