题目内容
【题目】(本题满分16分)数列,
,
满足:
,
,
.
(1)若数列是等差数列,求证:数列
是等差数列;
(2)若数列,
都是等差数列,求证:数列
从第二项起为等差数列;
(3)若数列是等差数列,试判断当
时,数列
是否成等差数列?证明你的结论.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)数列成等差数列.
【解析】试题分析:(1)证明一个数列为等差数列,一般从等差数列定义出发: ,其中
为等差数列
的公差(2)同(1),先根据关系式
,
解出
,再从等差数列定义出发
,其中
分别为等差数列
,
的公差(3)探究性问题,可将条件向目标转化,一方面
,所以
,即
,另一方面
,所以
,整理得
,从而
,即数列
成等差数列.
试题解析:证明:(1)设数列的公差为
,
∵,
∴,
∴数列是公差为
的等差数列. 4分
(2)当时,
,
∵,∴
,∴
,
∴,
∵数列,
都是等差数列,∴
为常数,
∴数列从第二项起为等差数列. 10分
(3)数列成等差数列.
解法1 设数列的公差为
,
∵,
∴,∴
, ,
,
∴,
设,∴
,
两式相减得: ,
即,∴
,
∴,
∴, 12分
令,得
,
∵,∴
,∴
,
∴,∴
,
∴数列(
)是公差为
的等差数列, 14分
∵,令
,
,即
,
∴数列是公差为
的等差数列. 16分
解法2 ∵,
,
令,
,即
, 12分
∴,
,
∴,
∵数列是等差数列,∴
,
∴, 14分
∵,∴
,
∴数列是等差数列. 16分
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