题目内容
13.在平面直角坐标系xOy中,设点P为圆o:x2+y2+2x=0上的任意一点,点Q(2a,a+3)(a∈R),则线段PQ长度的最小值为$\sqrt{5}$-1.分析 把圆的方程化为标准形式,由条件求得点Q(2a,a+3)到圆心(-1,0)的距离d的最小值,将d的最小值减去圆的半径,即为所求.
解答 解:圆o:x2+y2+2x=0,即 (x+1)2+y2 =1,表示以(-1,0)为圆心、半径等于1的圆.
点Q(2a,a+3)到圆心(-1,0)的距离d=$\sqrt{{(2a+1)}^{2}{+(a+3)}^{2}}$=$\sqrt{{5a}^{2}+10a+10}$=$\sqrt{{5(a+1)}^{2}+5}$,
故当a=-1时,d取得最小值为$\sqrt{5}$,故线段PQ长度的最小值为$\sqrt{5}$-1,
故答案为:$\sqrt{5}-1$.
点评 本题主要考查圆的一般方程,直线和圆的位置关系,二次函数的性质,求出点Q到圆心的距离d的最小值,是解题的关键,属于中档题.
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