Question

8．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为C₁D₁的中点，则异面直线AE与A₁B₁所成角的余弦值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由A₁B₁∥AB，得∠BAE是异面直线AE与A₁B₁所成角，由此利用余弦定理能求出结果．

解答 解：连结AE、BE、BC₁，
∵A₁B₁∥AB，∴∠BAE是异面直线AE与A₁B₁所成角，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
∵E为C₁D₁的中点，
∴AE=BE=$\sqrt{B{{C}_{1}}^{2}+E{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{8+1}$=3，AB=2，
∴cos∠BAE=$\frac{A{B}^{2}+A{E}^{2}-B{E}^{2}}{2AB•AE}$=$\frac{4+9-9}{2×2×3}$=$\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．