Question

2．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1．
（1）若l：y=kx+m（mk≠0）与C交于不同的两点M，N都在以A（0，-1）为圆心的圆上，求m的取值范围；
（2）若将（1）中的“双曲线C”改为““双曲线C的右支”，其余条件不变，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由直线方程与双曲线方程联立，利用M、N两点都在以A为圆心的同一圆上，可得|MA|=|NA|，结合韦达定理，即可求得m的取值范围；
（2）由（1）的结论，运用韦达定理和两根为正，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：（1）设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，
消去y整理可得（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，
∵直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线交于不同的两点M、N，
∴△=（-6km）²-4（1-3k²）（-3m²-3）＞0，即m²+1＞3k²，③
∵M、N两点都在以A为圆心的同一圆上，
∴|MA|=|NA|，
∴$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+（{y}_{1}+1）^{2}}$=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+（{y}_{2}+1）^{2}}$，
∵y₁=kx₁+m，y₂=kx₂+m，
∴（1+k²）（x₁+x₂）+2k（m+1）=0
∵x₁+x₂=$\frac{6km}{1-3{k}^{2}}$，
∴（1+k²）•$\frac{6km}{1-3{k}^{2}}$+2k（m+1）=0，
∴4m+1-3k²=0，
∵m²+1＞3k²＞0，
∴m²+1＞4m+1＞0
∴-$\frac{1}{4}$＜m＜0或m＞4；
（2）由（1）可得直线和双曲线联立，可得
（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，
∵直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与该双曲线的右支交于不同的两点M、N，
∴△=（-6km）²-4（1-3k²）（-3m²-3）＞0，即m²+1＞3k²，
又x₁+x₂=$\frac{6km}{1-3{k}^{2}}$＞0，x₁x₂=-$\frac{3{m}^{2}+3}{1-3{k}^{2}}$＞0，
可得km＜0，1-3k²＜0，
由（1）可得4m+1-3k²=0，
即有m²+1＞4m+1＞1，
解得m＞4．

点评 本题考查直线与双曲线的位置关系，同时考查圆的定义，考查学生的计算能力，属于中档题．