题目内容

已知函数f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
(a≠0且a≠1).
(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调递增区间;
(2)已知当x>0时,函数在(0,
6
)
上单调递减,在(
6
,+∞)
上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
(3)(理)记(2)中的函数的图象为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.
(文) 记(2)中的函数的图象为曲线C,试问曲线C是否为中心对称图形?若是,请求出对称中心的坐标并加以证明;若不是,请说明理由.
分析:(1)由于a≠0且a≠1,f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
=
3
a
(x+
a(a-1)
x
),由双钩函数y=x+
m
x
(m>0)在(-∞,-
m
],[
m
,+∞)上单调递增,在[-
m
,0),(0,
m
]单调递减,可判断f(x)在当a<0或当a>1时的单调区间;当0<a<1时,可由y=
3
a
x
为R上的增函数,y=
3
(a-1)
x
为(-∞,0),(0,+∞)上的增函数,判断即可;
(2)由题意及(1)中③可知
a(a-1)
=
6
且a>1,可解得a=3,从而可求得函数解析; 
(3)(理) 假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴,显然x、y轴不是曲线C的对称轴,可设l:y=kx(k≠0),设P(p,q)为曲线C上的任意一点,P'(p',q')与P(p,q)关于直线l对称,且p≠p',q≠q',则P'也在曲线C上,列式计算即可;
(文)先判断函数的定义域是否关于原点对称,若定义域关于原点对称,再证明f(-x)=-f(x)即可.
解答:解:∵f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
=
3
a
(x+
a(a-1)
x
),
∴由双钩函数y=x+
m
x
(m>0)在(-∞,-
m
],[
m
,+∞)上单调递增,在[-
m
,0),(0,
m
]单调递减,可得:
①当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(-
a(a-1)
,0)
(0,
a(a-1)
)

②当a>1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-
a(a-1)
)
(
a(a-1)
,+∞)

又当0<a<1时,y=
3
a
x
为R上的增函数,y=
3
(a-1)
x
为(-∞,0),(0,+∞)上的增函数,
∴③当0<a<1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0)及(0,+∞);(6分)
(2)由题设及(1)中③知
a(a-1)
=
6
且a>1,解得a=3,(9分)
因此函数解析式为f(x)=
3
x
3
+
2
3
x
(x≠0).                     (10分)
(3)(理)假设存在经过原点的直线l为曲线C的对称轴,显然x、y轴不是曲线C的对称轴,故可设l:y=kx(k≠0),且p≠p',q≠q',则P'也在曲线C上,列式计算即可;
设P(p,q)为曲线C上的任意一点,P'(p',q')与P(p,q)关于直线l对称,且p≠p',q≠q',则P'也在曲线C上,由此得
q+q′
2
=k
p+p′
2
q-q′
p-p′
=-
1
k

q=
p
3
+
2
3
p
q′=
p′
3
+
2
3
p′
,(14分)
整理得k-
1
k
=
2
3
,解得k=
3
k=-
3
3

所以存在直线y=
3
x
y=-
3
3
x
为曲线C的对称轴.           (16分)
(文)该函数的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),曲线C的对称中心为(0,0),
因为对任意x∈D,f(-x)=-
3
x
a
+
3
(a-1)
-x
=-[
3
x
a
+
3
(a-1)
x
]=-f(x)

所以该函数为奇函数,曲线C为中心对称图形.                    (10分)
点评:本题考查函数奇偶性、单调性与对称性,函数解析式的求解,(1)由实数a的不同取值,研究函数的单调区间是难点,可以利用导数研究,着重考查综合分析、综合应用的能力,属于难题.
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