题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(其中
为参数,且
,在以
为极点、
轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系取相同的单位长度)中,曲线
的极坐标方程为
,设直线
经过定点
,且与曲线
交于
、
两点.
(Ⅰ)求点的直角坐标及曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)求证:不论为何值时,
为定值.
【答案】(Ⅰ)直角坐标为,
;(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据题意,令直线的参数方程中
即可求出点
的直角坐标,整理化简曲线
的极坐标方程,结合
,即可得到曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)将直线的参数方程代入曲线
的直角坐标方程,根据参数
的几何意义,利用韦达定理即可证明
为定值.
(Ⅰ)因为直线的参数方程为
(其中
为参数,且
,
所以当时,得点
,即点
的直角坐标为
;
又曲线的极坐标方程为
,
,
,
,
,
即曲线的直角坐标方程为
;
(Ⅱ)证明:将直线的参数方程
代入
,
整理得,其中
,
所以判别式△,
由韦达定理可得,,
,
由参数方程中参数的几何意义可得,
,
即不论为何值时,
都为定值1.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对该班40名学生进行了问卷调查,得到了如下的列联表:
男生 | 女生 | 总计 | |
喜爱打篮球 | 19 | 15 | 34 |
不喜爱打篮球 | 1 | 5 | 6 |
总计 | 20 | 20 | 40 |
(1)在女生的20个个体中,随机抽取2人,记随机变量为抽到“不喜爱篮球”的人数,求
的分布列及数学期望
;
(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.1的条件下认为喜爱篮球与性别有关?
附:,其中
.
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】近年来,随着国家综合国力的提升和科技的进步,截至年底,中国铁路运营里程达
万千米,这个数字比
年增长了
倍;高铁运营里程突破
万千米,占世界高铁运营里程的
以上,居世界第一位.如表截取了
年中国高铁密度的发展情况(单位:千米/万平方千米).
年份 | |||||
年份代码 | |||||
高铁密度 |
已知高铁密度与年份代码
之间满足关系式
(
为大于
的常数).
(1)根据所给数据,求关于
的回归方程(精确到
位);
(2)利用(1)的结论,预测到哪一年,高铁密度会超过千米/万平方千米.
参考公式:设具有线性相关系的两个变量的一组数据为
,则回归方程
的系数:
,
参考数据:,
,
,
,
,
.
【题目】某土特产超市为预估2020年元旦期间游客购买土特产的情况,对2019年元旦期间的90位游客购买情况进行统计,得到如下人数分布表.
购买金额(元) | ||||||
人数 | 10 | 15 | 20 | 15 | 20 | 10 |
(1)根据以上数据完成列联表,并判断是否有
的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.
不少于60元 | 少于60元 | 合计 | |
男 | 40 | ||
18 | |||
合计 |
(2)为吸引游客,该超市推出一种优惠方案,购买金额不少于60元可抽奖3次,每次中奖概率为(每次抽奖互不影响,且
的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率),中奖1次减5元,中奖2次减10元,中奖3次减15元.若游客甲计划购买80元的土特产,请列出实际付款数
(元)的分布列并求其数学期望.
附:参考公式和数据:,
.
附表:
2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | |
0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |