题目内容
【题目】近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至
年底，中国铁路运营里程达
万千米，这个数字比
年增长了
倍；高铁运营里程突破
万千米，占世界高铁运营里程的
以上，居世界第一位．如表截取了
年中国高铁密度的发展情况（单位：千米/万平方千米）．
年份 |
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年份代码 |
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高铁密度 |
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已知高铁密度
与年份代码
之间满足关系式
（
为大于
的常数）．
（1）根据所给数据，求关于的回归方程（精确到
位）；
（2）利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度会超过
千米/万平方千米．
参考公式：设具有线性相关系的两个变量
的一组数据为
，则回归方程
的系数：
，
参考数据：
，
，
，
，
，
．
【答案】（1）
；（2）
年.
【解析】
（1）对
两边取自然对数得到
，知
与
具有线性相关关系；利用最小二乘法可求得
，进而整理得到结果；
（2）根据题意可构造不等式
，解不等式求得
的范围，进而确定结果.
（1）对
两边取自然对数得：.
令
，
，
，则
与
具有线性相关关系；
，
，
，
关于的回归方程为：，
，即.
（2）由（1）知：，
高铁密度超过
千米/万平方千米，即，即
，
，解得：
，即当
时，高铁密度超过千米/万平方千米.
预测年，高铁密度超过千米/万平方千米.
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