题目内容
【题目】已知
过椭圆
的焦点，且椭圆
的中心
关于直线
的对称点的横坐标为
（
为椭圆的焦距）.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过点
，且交椭圆于点
的直线
，满足
.若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）存在满足题意的直线
，方程为
或
.
【解析】
（1）根据点关于直线对称点的求解方法可得
，结合直线
过焦点和椭圆
关系可求得，进而得到椭圆方程；
（2）通过
可求得
；当直线斜率不存在时，易知满足题意；当直线斜率存在时，假设其方程为
，与椭圆方程联立，利用弦长公式求得
，根据点到直线距离公式求得原点到直线距离
，由
构造方程求得
；综合两种情况得到最终结果.
（1）将
代入直线方程，解得：
，
.
设原点
关于直线对称的点的坐标为
，则
，解得：
，
，解得：
，
，
椭圆
的方程为：.
（2）
，
.
①当直线斜率不存在时，方程为，代入椭圆方程得：
，
，
，满足题意；
②当直线斜率存在时，设其方程为，
代入椭圆方程得：
，
设
，
，则
，
，
，
又点到直线
的距离
，
，解得：
，
直线方程为；
综上所述：存在满足题意的直线，方程为或.
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评估得分 | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100) |
评定等级 | D | C | B | A |
（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；
（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家A等级的概率.