题目内容
8.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.(1)若f(x)满足对任意的x都有f(-1-x)=f(-1+x),且f(0)=1,f(x)min=0.求f(x)的解析式;
(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.
分析 (1)利用条件,可知函数的对称轴为x=-1,最小值1-$\frac{{b}^{2}}{4a}$=0,代入可解;
(2)求出函数表达式f(x)=x2+bx,问题可转换为b≤$\frac{1}{x}$-x且b≥-$\frac{1}{x}$-x在(0,1]上恒成立,再转换为最值问题解出b的范围.
解答 解:(1)∵f(0)=1
∴c=1,
∵f(-1-x)=f(-1+x),f(x)min=0
∴对称轴为x=-1,
∴-$\frac{b}{2a}$=-1,1-$\frac{{b}^{2}}{4a}$=0
∴a=1,b=2
∴f(x)=(x+1)2…(7分)
(2)由题知,f(x)=x2+bx,
∴原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,
即b≤$\frac{1}{x}$-x且b≥-$\frac{1}{x}$-x在(0,1]上恒成立.
又x∈(0,1]时,$\frac{1}{x}$-x的最小值为0,-$\frac{1}{x}$-x的最大值为-2,
∴-2≤b≤0.即b的取值范围是[-2,0]…(7分)
点评 考察了二次函数表达式的求法和恒成立问题的转换,属于常规题型,应熟练掌握解题方法.
练习册系列答案
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