Question

【题目】已知函数h（x）是定义在（﹣2，2）上，满足h（﹣x）＝﹣h（x），且x∈（0，2）时，h（x）＝﹣2x，当x∈（﹣2，0）时，不等式[h（x）+2]2＞h（x）m﹣1恒成立，则实数m的取值范围是_____．

Answer 1

【答案】．

【解析】

题意说明函数为奇函数，因此可求得时的函数解析式，从而求出此时的取值范围，在不等式中作为一个整体（如可换设），不等式恒成立采用分离参数法转化为求函数的最值即可．

h(x）是定义在(﹣2，2)上，满足h(﹣x）＝﹣h(x)，则h(x)为奇函数，

令x∈(﹣2，0），则﹣x∈(0，2），

∵x∈(0，2）时，h(x)＝﹣2x，

∴当﹣x∈(0，2）时，h(﹣x)＝﹣2﹣x，

又h(x)是定义在(﹣2，2)上的奇函数，

∴h(x)＝﹣h(﹣x)＝﹣(﹣2﹣x)＝2﹣x，

即h(x)＝2﹣x，x∈(﹣2，0)，

当x∈(﹣2，0）时，不等式h2(x)+4h(x)+4＞h(x)m﹣1，即h2(x)+4h(x)+5＞h(x)m①，

由x∈(﹣2，0)时，h(x)单调递减，故h(x)＝2﹣x∈(1，4)，

把①式参数分离可化为mh(x)，

不妨设t＝2﹣x∈(1，4)，y＝t4，当且仅当t∈(1，4)，取等号，

所以m＜y，即．

故答案为：．