Question

【题目】已知函数（a，b∈R）．

（1）若f（x）在点（1，f（1））的切线为y＝x+1，求f（x）的单调性与极值；

（2）若b＝﹣1，函数有且只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f（x）的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，），f（x）的极小值﹣2ln，无极大值；（2）a＜0或a＝1

【解析】

（1）求出导函数，利用和求得，再由导函数的正负确定单调性；

（2）由方程在（0，+∞）上有且只有一个实根，然后分离参数得，设h(x)，研究的单调性和极值后可得结论．

（1）切点（1，f（1））代入切线y＝x+1得：f（1）＝2，

∴f（1）＝1+b＝2，∴b＝1，

∴f'(x)2x+1，

又∵f'（1）＝1，∴2+1＝1，∴a，

∴函数f(x)＝﹣2lnx+x2+x，其中x＞0，

∴f'(x)2x+10，解得x，

列表：

x	（0，）		（，+∞）
f'(x)	﹣	0	+
f(x)	递减	极小值	递增

∴f(x)的单调递增区间为（，+∞），单调递减区间为（0，），

∴f(x)的极小值为f（）＝﹣2ln（）2）＝﹣2ln，无极大值；

（2）若f(x)有且只有一个零点，

即方程在（0，+∞）上有且只有一个实根，

分离参数得，设h(x)，则h'(x)，

又设φ(x)＝1﹣x﹣2lnx，φ'(x)＝﹣10，而φ（1）＝0，

∴当x∈（0，1）时，h'(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈（1，+∞）时，h'(x)＜0，h(x)单调递减，

∴h(x)max＝h（1）＝1，

又x∈（0，+∞）时恒有h(x)＞0，且x趋近于+∞时，h(x)趋近于0，

h（）＝e﹣e2＜0，且x趋近于0时，h(x)趋近于﹣∞，

从而0或，

即a＜0或a＝1时函数f(x)有且只有一个零点．