题目内容
11.在三棱锥S-ABC中,SB⊥BC,SA⊥AC,SB=BC,SA=AC.平面ABC与平面SAC所成的角为60°,且三棱锥S-ABC的体积为$\frac{2\sqrt{6}}{15}$,则三棱锥的外接球的半径为( )A. | 3 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 4 |
分析 设SB=BC=x,则SC=$\sqrt{2}$x,由题意SB=BC=SA=AC=x,SC为三棱锥的外接球的直径.过S点作SD⊥平面ABC,连接BD,AD,可知∠CBD=∠CAD=90°,∠SAD=60°,利用三棱锥的体积公式求出x,即可求出三棱锥的外接球的半径.
解答 解:如图所示,设SB=BC=x,则SC=$\sqrt{2}$x,由题意SB=BC=SA=AC=x,SC为三棱锥的外接球的直径.
过S点作SD⊥平面ABC,连接BD,AD,可知∠CBD=∠CAD=90°,∠SAD=60°,D点在AB边上的中线上,则AB被CD垂直平分,设交点为E,
∵SA=x,∴AD=$\frac{1}{2}$x,SD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x,
∴CD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$x,
∴$\frac{1}{2}×x×\frac{1}{2}x$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{2}$x×AE,
∴AE=$\frac{1}{\sqrt{5}}$x,
又x2=CE×$\frac{\sqrt{5}}{2}$x,
∴CE=$\frac{2}{\sqrt{5}}$x,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}×$$\frac{2}{\sqrt{5}}$x×$\frac{2}{\sqrt{5}}$x=$\frac{2}{5}$x2,
∵三棱锥S-ABC的体积为$\frac{2\sqrt{6}}{15}$,
∴$\frac{2\sqrt{6}}{15}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{5}$x2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x,
∴x=$\sqrt{2}$,
∴SC=2,
∴三棱锥的外接球的半径为1,
故选:B.
点评 本题考查三棱锥体积的计算,考查三棱锥的外接球的半径,正确求体积是关键.
A. | x+4y-2=0 | B. | x-4y+2=0 | C. | 4x+2y-1=0 | D. | 4x-2y-1=0 |