Question

【题目】综合题。
（1）已知a，b∈（0，+∞），求证：x，y∈R，有 ≥ ；
（2）若0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，求证：（2﹣a）b，（2﹣b）c，（2﹣c）a不能同时大于1．

Answer 1

【答案】
（1）证明：（ ）（a+b）=x2+ +y2≥x2+2xy+y2=（x+y）2，

当且仅当 ，即|bx|=|ay|时取等号，

由于a，b∈（0，+∞），所以有 ≥

（2）证明：假设结论不成立，即（2﹣a）b，（2﹣b）c，（2﹣c）a同时大于1．

，

而（2﹣a）b（2﹣b）c（2﹣c）a=（2﹣a）a（2﹣b）b（2﹣c）c

≤（ ）2（ ）2（ ）2=1，

这与（2﹣a）b（2﹣b）c（2﹣c）a＞1矛盾．

所以假设错误，即（2﹣a）b，（2﹣b）c，（2﹣c）a不能同时大于1

【解析】（1）由基本不等式易得答案，注意取等条件|bx|=|ay|；（2）假设（2﹣a）b，（2﹣b）c（2﹣c）a同时大于1，推出（2﹣a）b（2﹣b）c（2﹣c）a＞1 ①；再由已知条件可推出（2﹣a）b（2﹣b）c（2﹣c）a≤1，这与①矛盾，故假设不成立，即可得出结论．
【考点精析】利用反证法与放缩法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知常见不等式的放缩方法：①舍去或加上一些项②将分子或分母放大（缩小)．