Question

【题目】曲线C是平面内与两个定点F1（﹣2，0），F2（2，0）的距离之积等于9的点的轨迹．给出下列命题： ①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于坐标轴对称；
③若点P在曲线C上，则△F1PF2的周长有最小值10；
④若点P在曲线C上，则△F1PF2面积有最大值 ．
其中正确命题的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】解：设曲线C上任意一点的坐标为P（x，y），则[（x+2）2+y2][（x﹣2）2+y2]=81，

①把x=0，y=0代入上式得1=81，故曲线C不经过原点，故①错误；

②把（﹣x，y）代入上式得[（﹣x+2）2+y2][（﹣x﹣2）2+y2]=[（x﹣2）2+y2][（x+2）2+y2]=81，

∴曲线C关于y轴对称，

把（x，﹣y）代入上式显然也成立，故曲线C关于x轴对称，故②正确；

③∵|PF1|+|PF2|≥2 =2 =6，

∴△F1PF2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|≥6+4=10，故③正确；

④△F1PF2面积S= =2y，∴S2=4y2，

∵[（x+2）2+y2][（x﹣2）2+y2]=81，∴y4+（2x2+8）y2+（x2﹣4）2﹣81=0，

∴y2= ﹣x2﹣4或y2=﹣ ﹣x2﹣4（舍）．

设 =t，则x2= ，

∴y2=t﹣ ﹣4=﹣ t2+t﹣ =﹣ （t﹣12）2+ ，

∴当t=12时，y2取得最大值 ，即S的最大值为2 ，故④错误．

故选C．