Question

5．设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1）
（1）求证：对任意x∈（-1，+∞），f（x）≤0；
（2）证明：当m＞n＞0，时，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

Answer 1

分析 （1）利用导数法，求出函数f（x）的最大值，进而可得结论；
（2）根据要证明的结论，利用分析法来证明本题，从结论入手，要证结论只要证明后面这个式子成立，两边取对数，构造函数，问题转化为只要证明函数在一个范围上成立，利用导数证明函数的性质．

解答 证明：（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞），f′（x）=-ln（x+1），
当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，
故当x=0时，函数f（x）取最大值0，
即f（x）≤0；
（2）要证：（1+m）ⁿ＜（1+n）^m
只需证nln（1+m）＜mln（1+n），
只需证$\frac{ln（1+m）}{m}$＜$\frac{ln（1+n）}{n}$，
设g（x）=$\frac{ln（1+x）}{x}$，
则g′（x）=$\frac{\frac{x}{1+x}-ln（1+x）}{{x}^{2}}$=$\frac{x-（1+x）ln（1+x）}{（1+x）{x}^{2}}$，
由（1）知：f（x）=x-（1+x）ln（1+x），在（0，+∞）单调递减，
即x＞0时，有f（x）＜f（0），
∴x-（1+x）ln（1+x）＜0，所以g′（x）＜0，
即g（x）是（0，+∞）上的减函数，
即当m＞n＞0时，g（m）＜g（n），
故原不等式成立．

点评 本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查化归思想，考查构造函数，是一个综合题，解题时确定函数的单调性是关键．