Question

16．如图，正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，E、F分别为B₁C₁，C₁D₁中点，
（1）求证：D₁B₁∥面EFDB；
（2）求直线BE与面ABCD所成角的正切值；
（3）求平面EFDB将正方体分成的两部分体积之比．

Answer 1

分析 （1）连接B₁D₁，证明EF∥B₁D₁，即可证明D₁B₁∥面EFDB
（2）作EG⊥BC，则EG⊥面ABCD，∠EBC是直线BE与面ABCD所成角，即可求直线BE与面ABCD所成角的正切值；
（3）求出${V}_{EF{C}_{1}-DBC}$，即可求平面EFDB将正方体分成的两部分体积之比．

解答 （1）证明：连接B₁D₁，则
∵E、F分别为B₁C₁，C₁D₁中点，
∴EF∥B₁D₁，
∵B₁D₁?面EFDB，EF?面EFDB，
∴D₁B₁∥面EFDB；
（2）解：作EG⊥BC，则EG⊥面ABCD
∴∠EBC是直线BE与面ABCD所成角，正切值为2；
（3）解：设正方体的棱长为2，则
${V}_{EF{C}_{1}-DBC}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×4$-$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{5}{2}$，
∵正方体的体积为8，
∴平面EFDB将正方体分成的两部分体积之11：5．

点评 本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．