Question

11．已知函数f（x）=log_a（x+3）-1恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，求$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 根据对数函数恒过定点（1，0），求出点A的坐标，从而得出m、n的关系，再利用基本不等式求出$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值．

解答 解：∵函数f（x）=log_a（x+3）-1恒过定点A，
令x+3=1，
解得x=-2，
∴y=log_a1-1=-1；
又点A（-2-1）在直线mx+ny+1=0上，
∴2m+n=1；
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）（2m+n）=3+$\frac{2m}{n}$+$\frac{n}{m}$≥3+2$\sqrt{\frac{2m}{n}•\frac{n}{m}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当n=$\sqrt{2}$m，即m=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$时，取“=”；
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了不等式的基本性质的应用问题，也考查了对数函数的性质与应用问题，是基础题目．