题目内容
2.已知方程x1+x2+x3+x4=100,求:(1)这个方程的正整数解的组数;
(2)这个方程的非负整数解的组数;
(3)满足xi≥i,(i=1,2,3,4)的整数解的组数.
(注:不要求算出具体值,只列出式子即可)
分析 (1)根据题意,将原问题转化为20个小球的分组问题:假设有20个完全相同的小球,将其排成一列,利用挡板法将其分成4组,四个小组的小球数目分别对应x1、x2、x3、x4,由组合数公式计算即可得答案;
(2)由(1)假设有104个完全相同的小球,将其排成一列,共有103个空位,可得方程的非负整数解的组数;
(3)分类讨论,即可得出结论.
解答 解:(1)假设有100个完全相同的小球,将其排成一列,共有99个空位,
在其中选3个,插入挡板,即可将100个小球分成4组,有C993种分组方法;
第一组小球的数目是x1,第二组小球的数目是x2,第三组小球的数目是x3,第四组小球的数目是x4,
则方程的正整数解的组数就是C993;
(2)由(1)假设有104个完全相同的小球,将其排成一列,共有103个空位,方程的非负整数解的组数是C1033;
(3)x1+x2=3 (1组) x3+x4=97 (91组)
x1+x2=4 (2组) x3+x4=96 (90组)
x1+x2=5 (3组) x3+x4=95 (89组)
…
x1+x2=93 (91组) x3+x4=7 (1组)
总组数=1×91+2×90+3×89+…+91×1=129766.
点评 本题考查排列、组合的应用,关键在于将原问题进行转化,进而运用挡板法求解.
练习册系列答案
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A. | 45 | B. | 46 | C. | $\frac{390}{9}$ | D. | $\frac{400}{9}$ |
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第1组 | [75,90] | 5 | 0.05 |
第2组 | (90,105] | ① | 0.35 |
第3组 | (105,120] | 30 | ② |
第4组 | (120,135] | 20 | 0.20 |
第5组 | (135,150] | 10 | 0.10 |
合计 | 100 | 1.00 |
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11.直线$\sqrt{3}$x+3y+1=0的倾斜角是( )
A. | $\frac{π}{6}$ | B. | $\frac{π}{3}$ | C. | $\frac{2π}{3}$ | D. | $\frac{5π}{6}$ |