Question

【题目】已知椭圆:上任意一点到两个焦点的距离和为4，且离心率为．

（1）求椭圆的方程．

（2）过作互相垂直的两条直线分别与椭圆交于，和，，设中点为，中点为，试探究直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）； （2）过定点，.

【解析】

（1）和直接计算即可.(2) 若直线斜率存在且不为0．设直线的方程为，与椭圆方程联立，用中点坐标公式表示出，同理，求出直线的方程为过定点；

当直线斜率不存在或为0时，直线即为轴，也过点．

解：（1）由题意知，所以．

又，知．

所以，所以．

故椭圆的方程为．

（2）若直线斜率存在且不为0．设直线的方程为，

与椭圆方程联立得，

显然，设，坐标分别为，，中点坐标为，

则，，

即．

同理可得，，

．

直线的方程为，

整理得．

当直线斜率不存在或为0时，直线即为轴，也过点．

综上，直线过定点．