题目内容
【题目】已知,函数
,
.
(1)若在
上单调递增,求正数
的最大值;
(2)若函数在
内恰有一个零点,求
的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)求出的单调递增区间,令
,得
,可知区间
,即可求出正数
的最大值;(2)令
,当
时,
,可将问题转化为
在
的零点问题,分类讨论即可求出答案.
解:(1)由,
得,
.
因为在
上单调递增,
令,得
时
单调递增,
所以解得
,可得正数
的最大值为
.
(2),
设,当
时,
.它的图形如图所示.
又,则
,
,令
,
则函数在
内恰有一个零点,可知
在
内最多一个零点.
①当0为的零点时,
显然不成立;
②当为
的零点时,由
,得
,把
代入
中,
得,解得
,
,不符合题意.
③当零点在区间时,若
,得
,此时零点为1,即
,由
的图象可知不符合题意;
若,即
,设
的两根分别为
,
,由
,且抛物线的对称轴为
,则两根同时为正,要使
在
内恰有一个零点,则一个根在
内,另一个根在
内,
所以解得
.
综上,的取值范围为
.
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