题目内容

【题目】已知f(x)R上的奇函数,当x0时,解析式为f(x).

(1)f(x)R上的解析式;

(2)用定义证明f(x)(0,+∞)上为减函数.

【答案】(1) f(x) (2)见解析

【解析】试题分析:(1)分别求出当x<0x=0时的解析式,写成分段函数的形式;(2)x1x2∈(0,+∞),且x1x2通过作差证明f(x1)>f(x2)即可

试题解析:(1)x<0,则-x>0,

f(-x)=.

又∵f(x)是R上的奇函数,

f(-x)=-f(x)=

f(x)=.

又∵奇函数在x=0时有意义,

f(0)=0,

∴函数的解析式为f(x)=

(2)证明:设x1x2∈(0,+∞),且x1x2

f(x1)-f(x2)=

.

x1x2∈(0,+∞),x1x2

x1+1>0,x2+1>0,x2x1>0,

f(x1)-f(x2)>0,

f(x1)>f(x2),

∴函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.

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