题目内容
【题目】已知f(x)是R上的奇函数,当x>0时,解析式为f(x)=.
(1)求f(x)在R上的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(0,+∞)上为减函数.
【答案】(1) f(x)= (2)见解析
【解析】试题分析:(1)分别求出当x<0和x=0时的解析式,写成分段函数的形式;(2)设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,通过作差证明f(x1)>f(x2)即可。
试题解析:(1)设x<0,则-x>0,
∴f(-x)=.
又∵f(x)是R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x)=,
∴f(x)=.
又∵奇函数在x=0时有意义,
∴f(0)=0,
∴函数的解析式为f(x)=
(2)证明:设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=-=
=.
∵x1,x2∈(0,+∞),x1<x2,
∴x1+1>0,x2+1>0,x2-x1>0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
∴f(x1)>f(x2),
∴函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.