题目内容
【题目】已知椭圆C: +
=1(a>b>0)的离心率为
,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A、B两点.
①若线段AB中点的横坐标为﹣ ,求斜率k的值;
②若点M(﹣ ,0),求证:
为定值.
【答案】
(1)
解:因为 满足a2=b2+c2,
,
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 ,可得
.
从而可解得 ,
所以椭圆方程为
(2)
解:①将y=k(x+1)代入 中,消元得(1+3k2)x2+6k2x+3k2﹣5=0
△=36k4﹣4(3k2+1)(3k2﹣5)=48k2+20>0,
因为AB中点的横坐标为 ,所以
,解得
②证明:由①知 ,
所以
= =
= =
=
【解析】(1)根据椭圆的离心率,三角形的面积及椭圆几何量之间的关系,建立等式,即可求得椭圆的标准方程;(2)①直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为 ,即可求斜率k的值;②利用韦达定理,及向量的数量积公式,计算即可证得结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识,掌握椭圆标准方程焦点在x轴:,焦点在y轴:
.
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