题目内容
【题目】已知椭圆C： 
+ 
=1（a＞b＞0）的离心率为 
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．
①若线段AB中点的横坐标为﹣ 
，求斜率k的值；
②若点M（﹣ 
，0），求证： 
为定值．
【答案】
（1）
解：因为 
满足a2=b2+c2， 
，
根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为 
，可得 
．
从而可解得 
，
所以椭圆方程为 
（2）
解：①将y=k（x+1）代入 中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0
△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0， 
因为AB中点的横坐标为 
，所以 
，解得 
②证明：由①知 ， 
所以 
= 
= 
= 
= 
= 
【解析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为 ，即可求斜率k的值；②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
．
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