Question

【题目】已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率，短轴长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于不同的两点，，则的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（1）由离心率，短轴为2a，可求得a,b,c.(2) 设直线的方程为,与椭圆方程组方程组，由韦达定理与三角形面积公式，转化为关于t的函数，利用函数出求得最大值。

试题解析;（1）根据题意，得解得，，，

∴椭圆的标准方程为．

（2）设，，不妨设，，

由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，

则，，

∴，

令，可知，则，

∴，

令，则，

当时，，即在区间上单调递增，

∴，∴，

即当，时，的面积取得最大值3，

此时直线的方程为．