Question

【题目】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

①试说明上述监控生产过程方法的合理性；

②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

经计算得==9.97，s==≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16.

用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（﹣3+3）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．

附：若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ<Z<μ＋3σ)＝0.997 4.0.997 416≈0.959 2，≈0.09.

Answer 1

【答案】(1) P（X≥1）=0.0408， E（X）=0.0416 (2) （ⅰ）监控生产过程的方法是合理的，（ⅱ）μ的估计值为10.02，σ的估计值为0.09

【解析】试题分析：（1）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；

（2）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；

（ⅱ）通过样本平均数、样本标准差s估计、可知（﹣3+3）=（9.334，10.606），进而需剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．

试题解析：

（1）由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，

则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，

因为P（X=0）=×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，

所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，

又因为X～B（16，0.0026），

所以E（X）=16×0.0026=0.0416；

（2）（ⅰ）如果生产状态正常，一个零件尺寸在（﹣3+3）之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在（﹣3+3）之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小．因此一旦发生这种状况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．

（ⅱ）由=9.97，s≈0.212，得μ的估计值为=9.97，σ的估计值为=0.212，由样本数据可以看出一个

零件的尺寸在（﹣3+3）之外，因此需对当天的生产过程进行检查．

剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的平均数为

（16×9.97﹣9.22）=10.02，

因此μ的估计值为10.02．

2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134，

剔除（﹣3+3）之外的数据9.22，剩下的数据的样本方差为

（1591.134﹣9.222﹣15×10.022）≈0.008，

因此σ的估计值为≈0.09．