Question

已知曲线C上的动点P到点（1，0）的距离与到定直线L：x=-1的距离相等，
（1）求曲线C的方程；
（2）直线m过（-2，1），斜率为k，k为何值时，直线m与曲线C只有一个公共点，有两个公共点；没有公共点？

Answer 1

（1）由抛物线的定义可知动点P的轨迹是抛物线：y²=4x．
（2）设直线m的方程为y-1=k（x+2），联立

y-1=k(x+2) y2=4x

．
化为k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0．
①当k=0时，直线m∥x轴，直线与抛物线只有一个交点，满足题意；
②当k≠0时，若直线与m相切时，直线m与抛物线有且只有一个公共点，此时△=0，化为2k²+k-1=0，解得k=-1或k=

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2

．
当直线m与抛物线相交时，线m与抛物线有两个公共点，此时△＞0，化为2k²+k-1＜0，解得-1＜k＜

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2

．（k≠0）．
当△＜0，直线m与抛物线没有公共点，由△＜0化为2k²+k-1＞0，解得k＞

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或k＜-1．
综上可知：当k=0或k=-1或k=

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2

时，直线与抛物线只有一个公共点；
当-1＜k＜

1

2

且k≠0时，直线与抛物线有两个公共点；
当k＞

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或k＜-1时，直线m与抛物线没有公共点．