Question

【题目】如图所示，放置的边长为1的正方形沿轴滚动，点恰好经过原点．设顶点的轨迹方程是，则对函数有下列判断：

①若，则函数是偶函数；

②对任意的，都有；

③函数在区间上单调递减；

④函数在区间上是减函数．

其中判断正确的序号是________．(写出所有正确结论的序号)

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根据正方形的运动，得到点P的轨迹方程，然后根据函数的图象和性质分别进行判断即可．

当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，

当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，

当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，

当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，

∴函数的周期是4．

因此最终构成图象如下：

①根据图象的对称性可知函数y=f（x）是偶函数，∴①正确．

②由图象即分析可知函数的周期是4．∴②正确．

③函数y=f（x）在区间[2，3]上单调递增，∴③错误．

④函数y=f（x）在区间[4，6]上是减函数，由函数的图象即可判断是真命题、∴④正确．

故答案为：①②④．