题目内容
【题目】已知函数
(1)当时,求函数
的单调区间;
(2)若函数的值域为
,求a的取值范围.
【答案】(1)增区间是,单调减区间是
;(2)
或
【解析】
(1)利用导数求出的单调区间以及
,
时
的范围,即可得到函数
的单调区间;
(2)先利用有解求出
的大致范围,再证明在该范围内
即可。
(1)当,
,所以
,
由于,可得
.
当时,
,
是减函数;当
时,
,
是增函数;
因为当时,
;当
时,
所以函数的单调增区间是
,单调减区间是
(2)由题意知必有解,即
有解,
所以,即直线
与曲线
有交点.
则,令
得
和
;
令得
和
.
所以和
,
为增函数;
和
,
为减函数.
,当
时,
恒成立;
所以时,
;当
时,
,所以
时,
;
,即
时,
,
的图像如图所示.
直线与曲线
有交点,即
或
,所以
或
,
下证,先证
,设
,则
,
当时,
,函数h(x)单调递减,当时
,
,函数单调递增,
所以,即
;
当时,若
,
因为在
时的值域是
,又因为函数
连续,所以:
;
当时,若
,
,
当时,
,
时
;所以
时
,
又因为函数连续,所以
,
综上,或
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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