题目内容
【题目】设是数列
的前n项和,对任意
都有
,(其中k、b、p都是常数).
(1)当、
、
时,求
;
(2)当、
、
时,若
、
,求数列
的通项公式;
(3)若数列中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”。当
、
、
时,
.试问:是否存在这样的“封闭数列”
.使得对任意
.都有
,且
.若存在,求数列
的首项
的所有取值的集合;若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)得到
,
时化简得到
,根据等比数列公式得到答案.
(2)根据题意化简得到,再代换得到
,确定数列为等差数列,代入数据计算得到答案.
(3)根据(2)知数列为等差数列,取得到
,根据封闭数列定义得到
,得到
,再排除
的情况得到答案.
(1)当、
、
时,得到
当时,
;
当时,
,化简得到
;
故
(2)当、
、
时,得到
当时,
,两式相减化简得到
;
代换
得到
,两式相减化简得到
故数列为等差数列:,
,解得
,
故
(3)当、
、
时,根据(2)知,数列为等差数列.
,即
,
取时,
,根据封闭数列定义得到
故
当时,
,则
取得到
,排除;
当时,
,
则,满足;
当时,易知
小于
时对应的值,成立;
综上所述:
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