题目内容
【题目】已知,
(1)求在
处的切线方程以及
的单调性;
(2)对,有
恒成立,求
的最大整数解;
(3)令,若
有两个零点分别为
,
且
为
的唯一的极值点,求证:
.
【答案】(1)切线方程为;单调递减区间为
,单调递增区间为
(2)
的最大整数解为
(3)证明见解析
【解析】
(1)求出函数的导数,求出,
即可得到切线方程,解
得到单调递增区间,解
得到单调递减区间,需注意在定义域范围内;
(2)等价于
,求导分析
的单调性,即可求出
的最大整数解;
(3)由,求出导函数分析其极值点与单调性,构造函数即可证明;
解:(1)
所以定义域为
;
;
所以切线方程为;
,
令解得
令解得
所以的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2)等价于
;
,
记,
,所以
为
上的递增函数,
且,
,所以
,使得
即,
所以在
上递减,在
上递增,
且;
所以的最大整数解为
.
(3),
得
,
当,
,
,
;
所以在
上单调递减,
上单调递增,
而要使有两个零点,要满足
,
即;
因为,
,令
,
由,
,
即:,
而要证,
只需证,
即证:
即:由
,
只需证:
,
令,则
令,则
故在
上递增,
;
故在
上递增,
;
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】黄冈“一票通”景区旅游年卡,是由黄冈市旅游局策划,黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程,持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况单位:百元
,相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查,并把得到的数据列成如表所示的频数分布表:
组别 | |||||
频数 | 10 | 390 | 400 | 188 | 12 |
求所得样本的中位数
精确到百元
;
根据样本数据,可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布
,若该市总人口为750万人,试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上;
若年旅游消费支出在
百元
以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人,一年内继续来该景点游玩记2分,不来该景点游玩记1分,将上述调查所得的频率视为概率,且游客之间的选择意愿相互独立,记总得分为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
参考数据:
,
;