题目内容
【题目】设集合由满足下列两个条件的数列
构成:①
②存在实数
使
对任意正整数
都成立.
(1)现在给出只有5项的有限数列其中
;
试判断数列
是否为集合
的元素;
(2)数列的前
项和为
且对任意正整数
点
在直线
上,证明:数列
并写出实数
的取值范围;
(3)设数列且对满足条件②中的实数
的最小值
都有
求证:数列
一定是单调递增数列.
【答案】(1)数列不是集合
中的元素;数列
是集合
中的元素(2)证明见解析,实数
的取值范围是
实数
的取值范围是
(3)证明见解析
【解析】
(1)由于,可知数列
不满足条件①,对数列
中的每项逐一验证性质①,根据对数的运算性质可得性质②,进而可得结果;(2)由于点在直线上,可得
,利用递推关系可得:
,利用等比数列的前
项和公式可得
,验证
,可知条件①成立,由于
,即可得出条件②及其
,
的范围;(3)利用反证法:若数列
非单调递增,则一定存在正整数
,使
成立,再结合数学归纳法证明即可.
(1)对于数列,∵
,不满足集合
的条件①,
∴数列不是集合
中的元素.
对于数列,∵
,
,
,而且,当
时有
显然满足集合
的条件①②,故数列
是集合
中的元素.
(2)因为点在直线
上,
所以①当
时,有
②
①②,得
所以,当
时,有
又,所以
因此对任意正整数都有
,所以数列
是公比为
的等比数列,
故
对任意正整数,都有
,且
,
故,实数
的取值范围是
,实数
的取值范围是
(3)假设数列不是单递增数列,则一定存在正整数
,使
,
此时,我们用数学归纳法证明:对于任意的正整数,当
时都有
成立.
①时,显然有
成立;
②假设时,
则当时,由
可得
从而有
所以
由①②知,对任意的都有
1
显然这
个值中一定有一个最大的,不妨记为
于是
从而与已知条件
相矛盾.
所以假设不成立,故命题得证.
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【题目】黄冈“一票通”景区旅游年卡,是由黄冈市旅游局策划,黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程,持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况单位:百元
,相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查,并把得到的数据列成如表所示的频数分布表:
组别 | |||||
频数 | 10 | 390 | 400 | 188 | 12 |
求所得样本的中位数
精确到百元
;
根据样本数据,可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布
,若该市总人口为750万人,试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上;
若年旅游消费支出在
百元
以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人,一年内继续来该景点游玩记2分,不来该景点游玩记1分,将上述调查所得的频率视为概率,且游客之间的选择意愿相互独立,记总得分为随机变量X,求X的分布列与数学期望.
参考数据:
,
;