题目内容

【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PCDEAD的中点,ACBE相交于点O.

1)证明:平面ABCD.

2)求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析(2)

【解析】

1)通过证明平面,得到,再证即可证得平面ABCD.

2)建立空间直角坐标系,求出平面的法向量、直线的方向向量,利用空间向量法求出线面角的正弦值.

1)证明:平面PCD平面

的中点,则.

四边形BCDE为平行四边形,.

,且EAD的中点,四边形ABCE为正方形,,又平面

平面,则.

平面平面

为等腰直角三角形,

O为斜边AC上的中点,平面ABCD.

2)解:以O为坐标原点,建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示

不妨设,则,

.

设平面PBD的法向量为

,得.

BC与平面所成角为

.

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