Question

1．如图，AA₁B₁B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA₁=AB=2．
（1）求证：平面AA₁C⊥平面BA₁C．
（2）求几何体A₁-ABC的体积V的最大值．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥BC，推出BC⊥平面AA₁C，然后利用平面与平面垂直的判定定理证明即可．
（2）在Rt△ABC中，设AC=x，表示出BC，求出几何体的体积的表达式，利用二次函数的最值求解即可．

解答 （1）证明：∵C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，
∴AC⊥BC．（2分）
$\left.\begin{array}{l}A{A_1}⊥底面ABC\\ BC?平面ABC\end{array}\right\}⇒BC⊥A{A_1}$（3分）、
AA₁∩AC=A，
$\left.\begin{array}{l}∴BC⊥平面A{A_1}C\\ BC?平面B{A_1}C\end{array}\right\}⇒平面A{A_1}C⊥平面B{A_1}C$（6分）
（2）解：在Rt△ABC中，设AC=x，
则$BC=\sqrt{A{B^2}-A{C^2}}=\sqrt{4-{x^2}}（0＜x＜2）$${V_{{A_1}-ABC}}=\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•A{A_1}=\frac{1}{3}x\sqrt{4-{x^2}}=\frac{1}{3}\sqrt{{x^2}（4-{x^2}）}=\frac{1}{3}\sqrt{-{{（{x^2}-2）}^2}+4}$（10分）
当x²=2，即$x=\sqrt{2}$时，${V_{{A_1}-ABC}}$的最大值为$\frac{2}{3}$．（12分）

点评 本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，二次函数的性质，考查计算能力．