Question

6．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，求$\frac{BD}{DA}$．

Answer 1

分析 连CD，先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AB=5cm，再分别利用Rt△ADC∽Rt△ACB和Rt△BDC∽Rt△BCA，求出AD和BD，然后得到它们的比．

解答 解：连CD，如图，
在Rt△ABC中，因为AC、BC的长分别为3cm、4cm，所以AB=5cm，
∵AC为直径，
∴∠ADC=90°，
∵∠A公共，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AB}$，即$\frac{AD}{3}=\frac{3}{5}$，
∴AD=$\frac{9}{5}$，
同理可得Rt△BDC∽Rt△同理可得Rt△BDC∽Rt△BCA，
∴$\frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}$，即$\frac{BD}{4}=\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{16}{5}$，
∴$\frac{BD}{DA}$=$\frac{16}{9}$．

点评 本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了圆周角的推论：直径所对的圆周角为90度．也考查了勾股定理以及三角形相似的判定与性质．