Question

16．如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B为切点，PCN为圆O的割线，M为PN于AB的交点．证明：$\frac{AM}{BM}$=$\frac{A{N}^{2}}{B{N}^{2}}$．

Answer 1

分析 证明△PAC∽△PNA，△PBC∽△PNB，可得BC：AC=BN：AN，利用△AMC∽△NMB，△BMC∽△NMA，即可证明结论．

解答 证明：∵PA，PB是圆O的两条切线，
∴△PAC∽△PNA，△PBC∽△PNB，
∴PA：PN=AC：AN，PB：PN=BC：BN，
∵PA=PB，
∴AC：AN=BC：BN，
∴BC：AC=BN：AN
又∵△AMC∽△NMB，△BMC∽△NMA，
∴BM：NM=BC：AN，MB：MC=NB：AC，
∴$\frac{B{M}^{2}}{NM•MC}$=$\frac{NB•BC}{AN•AC}$，
∴$\frac{B{M}^{2}}{BM•AM}$=$\frac{N{B}^{2}}{A{N}^{2}}$，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{A{N}^{2}}{B{N}^{2}}$．

点评 本题考查圆的切线的性质，考查三角形相似的判定与性质，属于中档题．