Question

9．已知F₁，F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，记椭圆和双曲线的离心率分别为e₁，e₂，则$\frac{1}{{e}_{1}{e}_{2}}$的最大值为（　　）

• A． 3
• B． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• C． 2
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 先设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长a₂，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a₁，a₂，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|，在△F₁PF₂中根据余弦定理可得到：$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4，利用基本不等式可得结论．

解答 解：如图，设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长为a₂，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF₁|+|PF₂|=2a₁，|PF₁|-|PF₂|=2a₂，
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，
设|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，则：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，
4c²=（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²-2（a₁+a₂）（a₁-a₂）cos$\frac{π}{3}$
∴化简得：a₁²+3a₂²=4c²，
该式可变成：$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4，
∴$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}$=4≥$\frac{2\sqrt{3}}{{e}_{1}{e}_{2}}$
∴$\frac{1}{{e}_{1}{e}_{2}}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选：D．

点评 本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．